Zufall und Chaos

Zufall und Chaos werden gerne in einen Topf geworfen, aber es sind doch sehr unterschiedliche Phänomene. Beide versuchen Vorgänge zu beschreiben, die der klassischen Analytik nicht ohne weiteres zugänglich sind.

Im Gegensatz zu einer fallenden Kugel, deren Flugbahn man sehr genau berechnen kann, ist die Vorhersage der Lottozahlen weitaus schwieriger. Theoretisch wäre dies vielleicht möglich, wenn man die Ausgangsbedingungen genau kennen würde, was zunächst praktisch nicht erreichbar ist, weil es immer Messungenauigkeiten gibt, und selbst theoretisch schwierig wird, weil schließlich quantenmechanische Effekte anfangen eine Rolle zu spielen, welche die Bestimmung der Ausgangsbedingungen unmöglich machen.

Was bleibt sind Wahrscheinlichkeitsaussagen; man kann berechnen, wie wahrscheinlich eine beliebige Zahlenkombination ist, aber das macht keine Aussage darüber, ob diese Zahlen tatsächlich jemals gezogen werden, oder ob sie nicht sogar gleich dreimal hintereinander drankommen.

Auf der anderen Seite der Unordnung steht das Chaos und hier sind oft nicht einmal mehr statistische Aussagen möglich. Chaotische Prozesse zeichnen sich dadurch aus, dass sie von z. T. sehr einfachen Ausgangsbedingungen ausgehend früher oder später in ein Verhalten übergehen, das nicht mehr vorhersehbar ist, auch nicht durch statistische Aussagen. Und dieses Verhalten lässt sich schon mit einem einfachen Taschenrechner produzieren (leichter geht es jedoch mit einer Tabellenkalkulation, oder einem kleinen Computerprogramm).

Dazu setzt man eine Zahl zwischen 0 und 1 in die Formel 2x2-1 ein und wiederholt den Vorgang mit dem Ergebnis, schon nach kurzer Zeit schwanken die Werte chaotisch und schon kleine Variationen des Anfangswertes führen zu völlig anderen Verteilungen, die man sich am besten als Graphen anschaut - interessant wird es in der Regel nach 50-100 Iterationen. Die Vorgehensweise, das Ergebnis wieder in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen nennt man übrigens Iteration. Aber wenn man z. B. die Formel x2-1 iteriert, so erhält man nur eine regelmäßige Schwindung und kein Chaos.

Den Faktor vor dem x2 kann man also auch verändern (er soll n heißen und unsere Formel lautet dann nx2-1) und stellt fest, dass sich Chaos und Ordnung abwechseln. Für n=1,4 erhalten wir nach einiger Zeit einen Zyklus von 166 Werten, die immer wieder durchlaufen werden, ab 1,5 erhalten wir ein Chaos, das bis n=1,74 anhält und bei n=1,75 pendelt sich nach einiger Zeit ein Zyklus mit drei Werten ein.

Es sei angemerkt, dass bei der Arbeit mit Computern immer Rundungsfehler durch die interne Berechnung entstehen, so dass die Ergebnisse ungenauer werden, je mehr Nachkommastellen hinzukommen.

Die klassische Mechanik kam im 18. Jahrhundert an ihre Grenzen, zwar konnte Galileo die Bewegungen der Jupitermonde vorhersagen, aber nicht die Form einer Schneeflocke, ganz zu Schweigen von Gasen und Flüssigkeiten, und selbst die Newton?sche Mechanik hatte ihre Grenzen, weil sie von idealisierten Körpern ausging, die in der Wirklichkeit kaum anzutreffen sind. Man ging zwar davon aus, dass die Mechanik auch auf komplexere Systeme anwendbar sei, aber ein Gas oder eine Flüssigkeit besteht aus milliarden Molekülen und die klassische Mechanik bekommt genau genommen schon bei drei Körpern, die gleichzeitig miteinander Wechselwirken, in Schwierigkeiten - was als Dreikörperproblem bezeichnet wird.

Es war an der Zeit eine neue Form der Mathematik zu finden, welche in der Lage war, Aussagen über eine Gesamtheit von Teilchen zu machen. Es war Zeit für die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik.

Es ist einsichtig, dass die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines bestimmten Ereignisses der Kehrwert der Anzahl aller möglichen Ereignisse ist. Bei einer Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für Zahl 1:2, bei einem Würfel kommt die 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:6 und eine gerade Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 1:2 - die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle geraden Zahlen. Sobald man eine große Anzahl an zufälligen Ereignissen hat, kann man anfangen, statistische Aussagen zu machen und ihre Verteilung zu untersuchen. Ein Beispiel dafür ist die Größe des Menschen, es gibt große und kleine, aber trägt man alle Größen gemäß ihrer Anzahl in ein Diagramm ein, so erkennt man eine mittlere Größe, die auf besonders viele Menschen zutrifft, um die sich die Daten verteilen; das Bild, das sich ergibt, ist eine Glocken- oder Gaußkurve.

Und eine solche Kurve ergibt sich auch, wenn man sich die Geschwindigkeiten der Moleküle in einem Gas anschaut, einige sind langsam, andere sind schnell und die meisten liegen irgendwo dazwischen.

Mit der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung war es jetzt endlich möglich, das Verhalten von Gasen und Flüssigkeiten besser zu verstehen und die Thermodynamik konnte entstehen, aber auch die Sozialwissenschaften machen sich die Statistik zu nutzte, um Geburten- und Kriminalitätsraten auszurechen und Gesellschaften zu beschreiben (später kam noch die Spieltheorie hinzu, welche versucht, das Verhalten von Menschen und ihre Entscheidungsfindung zu beschreiben).

Womit man noch nicht weitergekommen war, war das Dreikörperproblem - und wenn man das Sonnensystem beschreiben möchte, reichen selbst 50 Körper nur für eine grobe Annäherung. Durch Iteration kann man auch hier wieder eine Näherung finden, welche die Bewegung der Planeten beschreibt, aber wie bereits gezeigt, hängt das Ergebnis empfindlich von den Ausgangsbedingungen ab und man kann nicht mit Sicherheit sagen, ob das Ergebnis periodisch ist (also dass die Erde bis in alle Ewigkeit innerhalb von einem Jahr um die Sonne kreisen wird - für die nächsten Jahre brauchen wir uns aber keine Sorgen zu machen, etwas anders sieht das für Kometen aus).

Trotzdem würde man natürlich gerne wissen, wie stabil die Bahnen in unserem Sonnensystem oder anderen chaotische Systemen tatsächlich sind. Dazu muss man betrachten, wie sich das System in Raum und Zeit verhält. Am besten macht man einen Schnitt und schaut sich bei einer periodischen (oder wenigstens annähernd periodischen) Bewegung an, an welchem Ort das Objekt nach einer Periode wieder auftaucht.

Für die Erde hieße dies, man schaut immer nach einem Jahr, an welcher Position sich der Planet befindet. Die sich so ergebenden Flächen heißen Poincaré-Schnitte und aus den Punkten darauf kann man durchaus Rückschlüsse auf das zugrunde liegende System ziehen, denn da gibt es Bereiche, die häufiger getroffen werden und man kann dynamische Prozesse beobachten, nämlich, dass es Regionen gibt, auf die sich das System eher zubewegt - Senken - und solche, von denen es sich wegbewegt - Quellen.

Dann gibt es noch eine dritte Variante, zu der sich das System aus zwei Richtungen hin- und senkrecht dazu fortbewegt - Sattelpunkte -, und als vierte Variation gibt es Grenzzyklen, auf denen sich das System im Kreis bewegt.

Was Quellen und Senken sind, dürfte einsichtig sein, diese Phänomene trifft man auch im täglichen Leben immer wieder. Sättel sind da schon interessanter, weil sie in eine Richtung stabil, in die andere instabil sind, man kann sich das so wie einen Reitsattel vorstellen, auf dem eine Kugel herunterrollt, zunächst rollt sie vielleicht zur Mitte hin, aber dann zu einer Seite herunter. Der Grenzzyklus ist so etwas wie ein Strudel, das System bleibt bis in alle Ewigkeit auf diesem Pfad, wenn es ihn erst einmal erreicht hat, dieses Verhalten nennt man auch quasiperiodisch, weil es sich zumindest annähernd immer wieder wiederholt.

Betrachtet man ein solches System über längere Zeit, kann man so feststellen, ob es stabil ist oder nicht, denn in einem stabilen Zustand bewegt sich das System auf einen sog. Attraktor zu, einen Punkt in unserem Schnitt, auf den Punkte in seiner Nähe immer wieder hinsteuern, also eine Senke oder ein Grenzzyklus.

Man kann die Chaostheorie aber nicht nur auf Planetenbewegungen anwenden, auch bei der Wettervorhersage hat man es im Wesentlichen mit chaotischen Systemen zu tun, die empfindlich von den Ausgangsbedingungen abhängen - dass Schmetterlinge das Wetter beeinflussen, darf aber trotzdem bezweifelt werden, ihr Einfluss geht gegenüber anderen Einflüssen eher unter. Inzwischen kann man das Wetter regional für bis zu 7 Tage einigermaßen vorhersagen, weil man eine Ahnung davon hat, wohin es sich von den gegebenen Ausgangsbedingungen hin entwickelt, aber darüber hinaus wird es schwierig.


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