Die Welt in Stückchen

Nicht erschrecken: das Thema heißt „Nichtkommutative Geometrie“. Zunächst einmal ist das ein relativ neuer Zweig der Mathematik, der in den 80er-Jahren von Alain Connes eingeführt wurde. Das Besondere ist, dass man keinen glatten Raum mehr betrachtet, sondern einen quantisierten, der aus vielen kleinen Stückchen besteht.

Kommutativ gilt für die Zahlen A und B, da A x B = B x A ist. In der Nichtkommutativen Geometrie sind A und B allerdings keine Zahlen mehr, sondern Matritzen (Felder aus Zahlen) oder Operatoren (mathematische Vorschriften) und diese kann man nicht mehr vertauschen und dann ist in der Quantenmechanik zum Beispiel das Produkt aus Ort und Impuls (Masse x Geschwindigkeit) nicht identisch mit dem Produkt aus Impuls und Ort. Daraus folgt die Heisenberg`sche Unschärfe, die besagt, dass man Ort und Impuls nicht gleichzeitig bestimmen kann, sondern dass, je genauer man auf den Ort schaut, der Impuls um so unbestimmter wird.
Um ein solchen, nicht zusammenhängenden Raum zu beschreiben, braucht man ein verbindendes Element. Bei Connes ist das ein übergeordnetes Quantenfeld um das klassische Raumzeitkontinuum herum. Mit diesem Feld kann man Räume beschreiben, deren Teile eigentlich nicht miteinander in Verbindung treten können.

In dieser neuen Geometrie bedeutet das, dass Raum und Zeit, oder auch die einzelnen Raumdimensionen, nicht mehr austauschbar sind. Und analog zur quantenmechanischen Quantisierung der Energie führt das dazu, dass auch Raum und Zeit quantisiert – gestückelt - sind. Daraus ergibt sich eine Unschärfe für die Raumzeit, welche dem Quadrat der Plancklänge entspricht (10-33 cm) – ziemlich wenig also, aber Effekte könnten schon weit vorher auftauchen und experimentell zugänglich sein.

Bisher reicht die Energie in den Teilchenbeschleunigern allerdings nicht aus, um auch nur in die Nähe dieser Längenskala zu kommen, so dass es wohl noch einige Zeit dauern wird, bis diese Struktur des Universums experimentell nachgewiesen werden kann. 2020 sollen drei Satelliten ins Weltall geschossen werden, um Gravitationswellen zu beobachten. Der Gravitationswellendetektor LISA (Laser Interferometer Space Antenna) könnte erste Hinweise auf die Geometrie der Raumzeit liefern.

Warum also der ganze Aufwand und diese komplizierte Geometrie, wenn es keine konkreten Hinweise gibt, dass etwas an diesem neuen Modell dran sein könnte?
Weil die verschiedenen Beschreibungen, die wir von unserer Welt haben, nicht zusammenpassen.
Auf der einen Seite steht die Quantenmechanik und beschreibt Vorgänge in sehr kleinen Dimensionen und zwischen einzelnen Teilchen. Auf der anderen Seite lauert die Relativitätstheorie und erklärt Vorgänge in galaktischen Maßstäben.
Aber so genau und gut auch beide Theorien überprüft sind und die Welt beschreiben, wenn sie zusammentreffen, knirscht es im Getriebe und es ist beispielsweise nicht möglich vorherzusagen, was im Inneren eines schwarzen Loches passiert, wo winzige Dimensionen auf gigantische Gravitationskräfte stoßen.
Das Standard-Modell ist ein anderes Beispiel, es beschreibt Teilchen und Kräfte und ist experimentell sehr gut bestätigt, aber es ist im Grunde nur ein Sammelsurium. Zum Beispiel gibt es einen Teil, der beschreibt, wie sich das Lichtspektrum von Atomen und Molekülen aufbaut – wie die Atome Licht auf ganz bestimmten Frequenzen aussenden, wenn sie angeregt, also mit Energie versorgt, werden. Und ein anderer Teil beschreibt, wie die Gravitation zwischen Teilchen wirkt.
Die nichtkommutative Geometrie verspricht, diese sehr unterschiedlichen Aspekte mit dem gleichen mathematischen Unterbau zu beschreiben.

Konkret kann dieses mathematische Werkzeug nutzen, um kleine schwarze Löcher zu beschreiben. Diese geben Energie (und damit Masse) durch die sog. Hawkingstrahlung ab. Im Vakuum entstehen ständig Teilchen und Antiteilchen, die sich fast sofort wieder gegenseitig vernichten. In der Nähe eines schwarzen Loches kann es passieren, das eines der Teilchen in das schwarze Loch gezogen wird, während das andere Teilchen im Weltraum verschwindet. In diesem Fall muss das schwarze Loch die Energie für die Entstehung der Teilchen zur Verfügung stellen, welche von Teilchen nur geborgt war. Auf diese Weise verliert das schwarze Loch Energie und schrumpft. Das sollte dazu führen, das es irgendwann ganz verschwindet.

Piero Nicolini, Anais Smailagic und Euro Spallucci haben dieses Phänomen mit der nichtkommutativen Geometrie untersucht. Und festgestellt, dass das schwarze Loch nicht in einer Singularität (einem Punkt) endet, sondern bei einem endlichen Radius aufhört zu schrumpfen und dann keinerlei Strahlung mehr aussenden sollte.
Klassisch müsste das Verdampfen des schwarzen Lochs immer schneller werden, je kleiner es wird, die Energieabgabe (man spricht auch von Temperatur, Wärmestrahlung ist ja auch nichts anderes als Energietransport) würde immer schneller ansteigen, je kleiner das schwarze Loch wird.
Im Quantenuniversum aber ist die maximale Temperatur begrenzt und der Radius des schwarzen Lochs fällt nicht unter 0,2 Planklängen (Größenordnung: 10-34 cm). So klein das auch ist, es ist kein dimensionsloser Punkt (eine sog. nackte Singularität) und macht der Relativitätstheorie keine Magenschmerzen mehr.

Zunächst ist diese neue Geometrie ein mathematisches Werkzeug, das erlaubt, Räume zu beschreiben, die aus diskreten Teilen bestehen, welche über ein Quantenfeld verbunden sind. Ob das Universum tatsächlich in einem derartigen Raumzeitkontinuum existiert, ist noch offen, aber die Möglichkeiten, welche die neue Betrachtungsweise liefert, sind vielversprechend und könnten unser Verständnis von Raum und Zeit einen großen Schritt voran bringen.


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BeitragvonDatumAntworten Letzte Antwort
Einige IndizienMarco Schmid07.09.2012
16:56 Uhr
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